Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2009-2010

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ phương trình:

Bài 3. (3 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu đa thức P(x) = x4 + bx3 + cx2 + bx + 1 có nghiệm thì
Bài 4. (3 điểm)
Cho x; y là các số thực thoả mãn: 4x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 5. (3 điểm)
Từ một điểm E ở ngoài đường tròn tâm O kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB (M khác A và B, MA ≠ MB). Gọi C và D là 2 điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD. Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại F. Chứng minh rằng tam giác OEF là tam giác vuông.
Bài 6. (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA + đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 7. (2 điểm)
Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số tự nhiên có 2 chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cạnh huyền ta được số đo của một cạnh góc vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

--- Hết ---



Hướng dẫn chấm và biểu điểm môn TOáN
(Gồm 5 trang)
Bài 1: (3 điểm)
ĐáP áN
ĐIểM

Ta có:
(1)

0,5

* Nếu phương trình (1) loại)

0,25

* Nếu phương trình (1) nghiệm đúng
0,25

* Nếu phương trình (1) vô nghiệm.
0,25

* Nếu
Do nên pt(1) có nghiệm
Mà

1

phương trình (1)


Phương trình này vô nghiệm vì và nên


0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
0,25


Bài 2: (3 điểm)
ĐáP áN
ĐIểM

ĐKXĐ
Với đk này hệ phương trình đã cho


0,5

Đặt ta có hệ phương trình:






1

* xét ta có (thoả mãn)
Ta có hệ hoặc hoặc


0,75

* xét ta có phương trình này vô nghiệm.
 0,5

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm hoặc
0,25

Bài 3: (3 điểm)
ĐáP áN
ĐIểM

Giả sử là nghiệm của đa thức P(x)
ta có:

0,5

đặt

0,5


0,5

Vì


0,5

Mặt khác
0,5

Suy ra (đpcm)
0,5


Bài 4: (3 điểm)
ĐáP áN
ĐIểM

 Đkxđ:

Từ



0,5